수열(Sequence)과 급수(Series)

수열(Sequence)

수열이란 말 그대로 수의 나열이다

하지만 보통 규칙성이 있는 수의 나열을 의미한다

대표적인 수열로는 등차 수열과 등비 수열이 있다

등차 수열

등비 수열

시그마(Sigma)

수열의 합을 나타내는 기호이다

시그마 기본 공식

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급수(Series)

급수란 수열의 각 항을 더한 것을 의미한다

등차급수 - 등차수열로 이루어진 급수

등비급수 - 등비수열로 이루어지는 급수

멱급수 - 앞의 항은 등차수열, 뒤의 항은 등비수열로 이루어진 급수

 

테일러 급수

테일러 급수 : 어떤 한 점의 함수 값은, 중심점 a에서의 함수값과 그 미분 값들로 표현할 수 있다

따라서, 함수의 특정 매개 변수에 대한 값은 전부 무한 급수로 바꿀 수 있다.

즉, 어떤 함수든 고쳐서 컴퓨터에게 계산을 시키면 근사 값을 쉽게 구할 수 있다!!!!

 

테일러 급수(맥클로린 급수) 전개 예시

프로그래밍에서 삼각함수의 값도 테일러 급수를 이용해서 근사값을 구한다

(주로 15번째 항이면 충분한 근사 값을 얻는다)

테일러 급수 실제 적용

테일러 급수를 이용해 제곱근을 구하는 프로그램

// 테일러 급수를 이용해 제곱근을 구하는 프로그램
#include <stdio.h> 
double Tsqrt(double num); 
main() 
{ 
   double num; 
   printf("input number => "); 
   scanf("%lf", &num); 
   printf("SQRT of %g is %g\n", num, Tsqrt(num)); 
} 
double Tsqrt(double num) 
{ 
   double sum=0, coef=1, power=1, fact=1, term=1; 
   int i; 
   for (i=0; sum != sum+term; i++) { 
      sum += term; 
      coef *= (0.5-i); 
      power *= (num-1); 
      fact *= (i+1); 
      term = coef*power/fact; 
   } 
   return sum; 
}

 

테일러 급수를 이용해 sin()을 구하는 프로그램

// 테일러 급수를 이용해 sin()을 구하는 프로그램
#include <iostream>
#define _USE_MATH_DEFINES
#include <math.h>

unsigned int SIN_LOOP = 15;
unsigned int COS_LOOP = 15;

#define DEG2RAD(x) ((x)*(M_PI)/(180.0f))
#define RAD2DEG(x) ((x)*(180.0f)/(M_PI))

// sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
template <class T>
T MySin(T x)
{
    T Sum = 0;
    T Power = x;
    T Sign = 1;
    const T x2 = x * x;
    T Fact = 1.0;
    for (unsigned int i = 1; i < SIN_LOOP; i += 2)
    {
        Sum += Sign * Power / Fact;
        Power *= x2;
        Fact *= (i + 1) * (i + 2);
        Sign *= -1.0;
    }
    return Sum;
}

int main()
{
    float deg = 45.0f;

    std::cout << "MySin(" << deg << ") = " << MySin( DEG2RAD(deg) ) << std::endl;
}

 

SSS